MODELO LEP (lote económico de producción) CON FALTANTES

t4= instante de tiempo en que se enciende la maquina y el sistema se nivela con los pedidos pendientes
Imax= Inventario máximo
t2= tiempo que trascurre en agotar el inventario máximo
t2+t1 = tiempo en agotar las existencias 
t1+t2+t3+t4 = tiempo entre corrida
S = cantidad de productos faltantes
d= demanda de la corrida
R = tasa de produccion 
D= demanda anual

En el LEP con faltantes, existe una cantidad de faltantes permitidas (S), La producción comienza con un inventario de –S, el signo negativo indica que se refieren a faltantes, una causa puede ser por pedidos pendientes. Luego al ir produciendo se recuperan dichas faltantes y llegamos al inventario 0, se necesita un tiempo para completar dicha orden de producción.   Una orden de pedido es seguida de una orden de producción del articulo pedido, se necesita un tiempo para nivelarse con los pedidos pendientes, luego llegar al inventario máximo.  Durante este tiempo el artículo esta siendo producido y demandado. 

la tasa de producción (R-d), tiene que ser mayor que la tasa de demanda(d), ya que si no fuese así no existiría inventario en ningún momento.

Se define la tasa de producción R, como el número de unidades producidas en un periodo de tiempo generalmente un año.

Cuando llegamos al punto máximo de faltantes permitidos, se inicia la producción de la orden de pedido del lote Q.

Cuando llegamos al Inventario máximo a partir de dicho punto, el nivel de inventario decrece, como consecuencia de una demanda uniforme y constante, cuando la cantidad de faltantes permitidas se inicia de nuevo el ciclo.

El modelo LEP con faltantes cumple con los siguientes supuestos:

La demanda es constante y es conocida.

Se admiten faltantes. Existe una cantidad de faltantes permitidas

Existen costos de almacenamiento, costo unitario  y costo de producción,

El área bajo la curva de el triangulo de base t1+t2 y altura Imax representa el costo promedio de mantener en inventario.

Costo entre corrida es:

De la gráfica podemos generar las siguientes ecuaciones:

Necesitamos que la ecuación de costos por corrida nos de en función de Q, S, D para ello utilizamos las ecuaciones anteriores y sacamos algunas otras, para reemplazarlas en la función de costos por corrida

Reemplazando en la ecuación de costos nos queda

Ahora para calcular los costos totales anuales (CTA) debemos multiplicar por el numero de corridas en el año (D/Q)

Para calcular el Q' y S' óptimos que hacen que la ecuación de costos tome su menor valor  minimo, entonces calculamos la derivada de la función con respecto a S y a Q.  

Igualando a cero y luego despejamos S

Derivada con respecto a Q.

Igualamos a cero CTA(Q,S) con respecto a Q.

En la ecuación anterior remplazamos el valor de S.

Nuevamente despejamos Q, y la ecuación para calcular la cantidad optima Q' es:

Si reemplazamos esta ecuación de la cantidad optima en la ecuación de S',  y luego simplificamos obtenemos. La función para calcular la cantidad optima de faltantes permitidas (S').

MODELO LEP (lote Economico de produccion) SIN FALTANTES

Una orden de pedido es seguida de una orden de producción del articulo pedido, por lo que se necesita un tiempo para completar dicha orden de producción.  Durante este tiempo el artículo esta siendo producido y demandado. 

la tasa de produccion (R-d), tiene que ser mayor que la tasa de demanda(d), ya que si no fuese así no existiría inventario en ningún momento.

Se define la tasa de producción R, como el número de unidades producidas en un periodo de tiempo generalmente un año.

Cuando el inventario se agota, se inicia la producción de la orden de pedido del lote Q. Se requiere un tiempo de producción Q/R. Durante este tiempo, el inventario se va acumulando a una tasa R-d, por lo que cuando se acabe la producción del lote de tamaño Q se alcanzará el nivel máximo de inventario Imax:

Desde este punto, el nivel de inventario decrece, como consecuencia de una demanda uniforme y constante, cuando las existencias se agotan el ciclo se inicia de nuevo.

El modelo LEP sin faltantes cumple con los siguientes supuestos:

La demanda es constante y es conocida.

No se admiten faltantes. La demanda siempre sera cubierta por la producción

Existen costos de almacenamiento y costo de producción,

El area bajo la curva de el triangulo de base t y altura Imax representa el costo promedio de mantener en inventario.

La funcion de costo del modelo LEP sin faltantes se puede describir en la siguiente ecuación:

Cu= Costo unitario del producto

Cop= Costo de producción.

Cmi= Costo de mantener en inventario

d= demanda del perioso

La ecuacion (1) debe estar en funcion Q, D Y d

Entonces buscamos t1,t y Imax con base a los que observamos en el grafico

Reemplazamos estos valores en la ecuacion (1)

Para obtener la ecuación de costo total anual multiplicamos por N.

Como necesitamos buscar el punto de inflexión Q' que represente el costo minimo anual, entonces derivamos dCTA(Q)/d(Q) y la igualamos a cero.

Despejando Q' obtenemos

Q´ = Q optimo

Para calcular N' y t' simplemente se remplaza Q por Q'

MODELO EOQ CON FALTANTES

A faltantes nos referimos como la demanda que no se satisface debido a que el inventario se ha agotado. Esta situación genera problemas como tratar con clientes molestos y realizar el trabajo adicional de registros para cumplir esa demanda mas tarde. 

Si los costos de incurrir en faltantes y el costo de mantener en inventario es alto en relación con los costos faltantes, bajar el nivel de inventarios y permitir faltantes ocasionales puede ser una buena decisión. Esto si los clientes, en general, estén dispuestos a aceptar un retraso razonable en la recepción de sus pedidos si es necesario.

Este modelo solo cambia un supuesto. 

Ahora se permiten faltantes. Cuando ocurre un faltante, los clientes afectados esperan que el producto este nuevamente disponible. Sus ordenes pendientes se satistafen de inmediato cuando llega la cantidad ordenada para reabastecer el inventario.

podemos ver en la gráfica que los niveles de inventarios de extienden a valores negativos que reflejan el numero de unidades del producto que faltaron o que están pendientes.

La ecuacion es parecida al modelo EOQ básico, solo que ahora se incluye costo de faltantes por ciclo.

El costo promedio de faltantes por ciclo es:

Esta se calcula por el area del triangulo que muestra la cantidad de faltantes, y es el área encerrada entre S, t2 y el eje horizontal donde la demanda es 0.

Entonces el modelo lo podemos representar por medio de la siguiente ecuación de costo por lote.

(1)

Recordemos que:

Ca = Costo unitario

Cp = Costo de preparación 

Cmi= Costo de mantener en inventario

Cf= Costo de faltantes

Nuestro objetivo es buscar la cantidad optima Q para minimizar los costos, para ello primero debemos buscar el costo total anual y luego reemplazar cada termino en función de S, D Y Q

Para obtener la función de costo total anual debemos multiplicar la ecuacion (1 ) por N. Y nos quedaría así: 

Sabemos que:

Entonces la ecuación de costo total anual es:

(2)

Nota : ti de la ecuación (1) y (2) es la misma  t1 que veremos en en las ecuaciones siguientes.

Del grafico podemos definir Imax(Q,S) Y t(Q,S)

 (3)

Por relación de triángulos tenemos:

(4)

(5)

Reemplazando (3), (4) y (5) en (2) tenemos:

Para encontrar el valor optimo Q', debemos buscar el punto de inflexión donde el costo sea mínimo. 

Derivamos la función CTA(Q,S) con respecto a Q, y con respecto a S.

 (6)

(7)

Ahora despejamos Q y S de la funcion (6) y (7) respectivamente.

(8)

 (9)

La cantidad optima Q' debe estar en función de los costos y la demanda , entonces reemplazamos (8) en (9)

Entonces la cantidad optima Q' para un modelo con demanda constante y que admite faltantes (EOQ con faltanes) la podemos calcular por la siguiente ecuacion 

MODELO EOQ BÁSICO

El modelo EOQ basico (Economic Order Quantity) cumple los siguientes supuestos:


Se conoce la tasa de demanda por unidad de tiempo 


La cantidad Ordenada (Q) para reabastecer el inventario llega de una sola vez cuado se desea, es decir, cuando el nivel de inventario baja hasta 0.


No se permiten faltantes

Costos en un modelo de inventario general.

Recordemos que los modelos de inventarios buscan responder a cuando y cuanto es el numero de articulos que deben pedirse para minimizar los costos de inventario total(Ca), de forma general podemos resumir el costo total de un modelo de inventarios como reunion de sus componentes principales, estos son:


Costo de adquirir(Cu):
Este costo se vuelve importante cuando el precio de una unidad depende del tamaño del pedido.


Costo preparación(Cp):
Es el costo fijo en que se incurre cuando se hace un pedido, costos administrativo por ordenar o, cuando se fabrica, el costo de preparación para poner en marcha la producción. 


Costo de almacenamiento(Cmi):
Representan el costo unitario asociados con el almacenamiento del inventario hasta que se vende o se usa. Incluye costos de capital invertido, espacio, seguros, protección e impuestos atribuibles al almacenamiento.


Costo por faltantes(Cf)
Es una penalización unitaria en la que se incurre cuando se termina la existencia de un producto que se necesita

Asi el costo total es la suma de los costos anteriormente nombrados.

En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento de costo de almacenamiento (mantenimiento) y el costo de adquirir(compra) y el punto EOQ muestra la cantidad Q optima.

El modelo EOQ básico tiene el siguiente comportamiento

Por la definición del costo total por lote (Ca), para un modelo EOQ basico tenemos la siguiente ecuación de costo por lote.

(1)

El costo de mantener en inventario un lote lo calculamos por el área bajo la curva de la función de la demanda, es decir el area bajo la curva del triangulo, este es el nivel promedio de inventario durante un periodo (ti)

El tiempo en términos de años en que se realiza un pedido de cantidad Q, para suplir la demanda D 

ti=(Q/D)                                                                                                     (2)

El numero de pedido que se realizan en un año para suplir una demanda D, por lotes de Q,

N=(D/Q)                                                                                                    (3)

Ahora con base a estas ecuaciones debemos encontrar la ecuación Q, para calcular la cantidad optima para este modelo (EOQ).

Lo primero es calcular el costo total anual, entonces multiplicamos la ecuación (1) por N:

Como ti= (Q/D) Podemos reducir la ecuacion a:

Para calcular el valor optimo Q'

Como sabemos que el punto Q' es un punto de inflexión de CTA(Q), derivamos en función de la variable Q 

Ahora buscamos los puntos de inflexión igualando a cero la derivada d(CTA)/dQ ( ya que la pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos de inflexión es cero)  y buscamos Q mínimo.

Modelos de Control de Inventarios de acuerdo al tipo de demanda

¿ Que es la Demanda?

Es cantidad y calidad de bienes y servicios que pueden ser adquiridos  por un consumidor o por el conjunto de consumidores en un instante de tiempo.

Existen dos tipos de demanda:

Demanda Independiente. Es aquella que refleja las preferencias del conjunto de individuos o unidades consumidoras respecto a un determinado bien o servicio, es una variable con mucha incertidumbre.

Demanda Dependiente. como su nombre lo indica es la demanda de aquellos productos que dependen de la demanda de otro.

En la primera sección nos dedicaremos a estudiar los inventarios para demanda independiente

En la siguiente gráfica se muestran los diferentes modelos de inventarios de acuerdo al comportamiento de la demanda (si es variable o constante) Y para la demanda independiente.

Gestion de Inventario.

Los inventarios se relacionan con el mantenimiento de cantidades suficientes de bienes ( por ejemplo, refacciones y materias primas) para garantizar un proceso. Es considerado en la industria como un mal necesario: muy poca reserva puede ocasionar costosas interrupciones en las operación del sistema y demasiada reserva puede arruinar la venta competitiva y el margen de ganancia del negocio. por ello la única manera de minimizar su impacto adverso, es encontrando un "justo medio" entre los dos casos .

Los inventarios prevalecen en el mundo de los negocios, mantenerlos en un buen nivel es necesario para las compañías que operan con productos físicos, como fabricantes, distribuidores y comerciales. Por ejemplo, los fabricantes necesitan contar con inventarios de materiales que se requieren para la manufactura de productos, También deben almacenar productos terminados en espera de ser enviados. De manera similar,  tanto los distribuidores como las tiendas deben  mantener inventarios de bienes disponibles para cuando los consumidores los soliciten.

la gestión de inventario puede darse en alguna de estas operaciones:

• Logística de aprovisionamiento

Compra

Inventarios de Materia Prima 

• Logística de operaciones

Producción

Inventario en proceso 

• Logística de distribución

Transporte

comercio y venta

Inventario de productos terminados

¿POR QUÉ EXISTEN LOS INVENTARIOS?

Por que no tenemos respuesta inmediata de los productores, es decir, existe un tiempo entre el momento en el que proveedor solicita el pedido y el momento en el cual llega el pedido a la planta por parte de los productores 

Los inventarios los necesitamos para garantizar el flujo de materiales 

COMO UTILIZAMOS LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PARA MEJORAR LAS POLÍTICAS DE INVENTARIOS.

Cuando nos referimos a mejorar las políticas de inventarios básicamente nos referimos a cuando y cuanto re-abastecer su inventario. La administración científica de los inventarios comprende las siguientes pasos.

Formular un modelo matemático que describa el comportamiento del sistema de inventario.

Elaborar una política optima a partir de ese modelos.

Utilizar un sistema de procesamiento de información computarizado para mantener registros sobre los niveles de inventarios.

A partir de estos registros, utilizar la política optima de inventarios para señalar cuando y cuanto conviene re- abastecer.